Question

4．判斷下列函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并指出方程的根所在長(zhǎng)度為1的區(qū)間．
（1）f（x）=lgx+x-3；
（2）f（x）=2^x+3x-7；
（3）f（x）=lnx-$\frac{2}{x}$．

Answer 1

分析 分別求出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（2）=lg2+2-3=lg2-1＜0，f（3）=lg3+3-3=lg3＞0，
∴在區(qū)間（2，3）內(nèi)函數(shù)f（x）存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)；
（2）f（x）=2^x+3x-7在R上是增函數(shù)，
∵f（1）=2+3-7=-2＜0，f（2）=4+6-7=3＞0．
∴在區(qū)間（1，2）內(nèi)函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)；
（3）f（x）=lnx-$\frac{2}{x}$在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∵f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3-$\frac{2}{3}$＞0，
∴在區(qū)間（2，3）內(nèi)函數(shù)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，求出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理是解決本題的關(guān)鍵．