Question

8．設(shè)F是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B．若2$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{FB}$，則雙曲線C的離心率是2．

Answer 1

分析 由題意得右焦點(diǎn)F（c，0），設(shè)一漸近線OA的方程為y=$\frac{a}$x，則另一漸近線OB的方程為y=-$\frac{a}$x，由垂直的條件可得FA的方程，代入漸近線方程，可得A，B的橫坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合離心率公式，解方程可得．

解答 解：由題意得右焦點(diǎn)F（c，0），
設(shè)一漸近線OA的方程為y=$\frac{a}$x，
則另一漸近線OB的方程為y=-$\frac{a}$x，
由FA的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
聯(lián)立方程y=$\frac{a}$x，
可得A的橫坐標(biāo)為$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由FA的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），聯(lián)立方程y=-$\frac{a}$x，
可得B的橫坐標(biāo)為$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$．
由2$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{FB}$，
可得2（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c）=$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$-c，
即為$\frac{2{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{c{a}^{2}}{2{a}^{2}-{c}^{2}}$，
由e=$\frac{c}{a}$，可得$\frac{2}{{e}^{2}}$-1=$\frac{1}{2-{e}^{2}}$，
即有e⁴-5e²+4=0，解得e²=4或1（舍去），
即為e=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用：求離心率，同時(shí)考查向量的共線的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．