Question

16．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a，a≠0，前n項(xiàng)和為S_n，且$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為A_n，若A₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由題意得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），求出d=a．由此能求出a_n．
（2）先求出S_n，從而$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{a}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），由此利用裂項(xiàng)法能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a，a≠0，前n項(xiàng)和為S_n，且$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等比數(shù)列．
∴設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意得  （$\frac{1}{{a}_{2}}$）2=$\frac{1}{a}•\frac{1}{{a}_{4}}$，化簡得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
因?yàn)閐≠0，所以d=a．所以a_n=na．
（2）∵S_n=a+2a+3a+…+na=$\frac{a•n•（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{a}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴A_n=$\frac{2}{a}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2}{a}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{a（n+1）}$，
∵A₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$，∴A2015=$\frac{2×2015}{a×2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
解得a=2．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．