Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+2，當x∈[1，4]時總有f（x）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得，只要$\frac{a}{2}$＞$\frac{x-1}{{x}^{2}}$在[1，4]的最大值，由g（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，配方即可得到最大值，進而求得a的范圍．

解答 解：當x∈[1，4]時總有f（x）＞0，即為
$\frac{a}{2}$＞$\frac{x-1}{{x}^{2}}$的最大值，
由g（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=-（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
由1≤x≤4，可得$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{x}$≤1，
當$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$，即x=2時，g（x）取得最大值$\frac{1}{4}$，
即有$\frac{a}{2}$＞$\frac{1}{4}$，解得a＞$\frac{1}{2}$，
則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值求法，考查運算能力，屬于中檔題．