Question

15．設(shè)a、b是關(guān)于t的方程t²cosθ-tsinθ=0的兩個(gè)不相等實(shí)根，則過A（a，a²）、B（b，b²）兩點(diǎn)的直線與雙曲線$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}$-$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程求出a，b的值，求出AB的方程，得到AB是雙曲線的漸近線，即可得到結(jié)論．

解答 解：由t²cosθ-tsinθ=0得t（tcosθ-sinθ）=0，
則t=0或t=tanθ，
∵a、b是關(guān)于t的方程t²cosθ-tsinθ=0的兩個(gè)不相等實(shí)根，
∴不妨設(shè)a=0或b=tanθ，
則A（0，0），B（tanθ，tan²θ），則AB的斜率k=tanθ，即AB的方程為y=tanθx，
而雙曲線$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}$-$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1的漸近線方程為y=±tanθx，
則AB是雙曲線$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}$-$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1的一條漸近線，
∴過A（a，a²）、B（b，b²）兩點(diǎn)的直線與雙曲線$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}$-$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是0個(gè)，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系的判斷，根據(jù)條件求出一元二次方程的根，以及AB的方程是解決本題的關(guān)鍵．