Question

3．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為2c，且|FA|=c，求雙曲線的漸近線方程．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線和拋物線 的線段的長(zhǎng)度以及|FA|=c建立方程關(guān)系，求出a=b，進(jìn)行求解即可．

解答 解：由已知|OA|=a，|AF|=c，
所以，$|OF|=b=\frac{p}{2}$
把y=-$\frac{p}{2}$=b代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1得，x²=2a²，
所以，直線y=-$\frac{p}{2}$被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為2$\sqrt{2}a$，
從而2$\sqrt{2}$a=2c，c=$\sqrt{2}$a，
所以，a²+b²=2a²，
則a=b
所求漸近線方程為y=±x．
考點(diǎn)：雙曲線漸近線

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的漸近線的求解，解集雙曲線有關(guān)綜合問題的方法（1）解決雙曲線與橢圓、圓、拋物線的綜合問題時(shí)，要充分利用橢圓、圓、拋物線的幾何性質(zhì)得出變量間的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解．（2）解決直線與雙曲線的綜合問題，通常是聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形注意取舍．