Question

16．?x∈R，e^x≥ax+b，則實(shí)數(shù)a，b的乘積a•b的最大值為（　　）

• A． $\frac{e}{2}$
• B． 2
• C． 1
• D． $\frac{e}{3}$

Answer 1

分析 由題意：令f（x）=e^x，設(shè)f（x）上一點(diǎn)坐標(biāo)為P（x₀，e${\;}^{{x}_{0}}$），則f'（x）=e^x，所以k=e${\;}^{{x}_{0}}$，所以切線方程為：y-e${\;}^{{x}_{0}}$=e${\;}^{{x}_{0}}$（x-x₀），整理得：y=e${\;}^{{x}_{0}}$x+（1-x₀）e${\;}^{{x}_{0}}$，求出a、b，f（x）=ab，令f'（x）=0，求出a•b的最大值即可

解答 解：由題意：令f（x）=e^x，設(shè)f（x）上一點(diǎn)坐標(biāo)為P（x₀，e${\;}^{{x}_{0}}$），
則f'（x）=e^x，所以k=e${\;}^{{x}_{0}}$，
∴切線方程為：y-e${\;}^{{x}_{0}}$=e${\;}^{{x}_{0}}$（x-x₀），
整理得：y=e${\;}^{{x}_{0}}$x+（1-x₀）e${\;}^{{x}_{0}}$，
∴a=e${\;}^{{x}_{0}}$，b=（1-x₀）e${\;}^{{x}_{0}}$，
令f（x）=ab=（1-x）e^2x，
那么：f'（x）=-e^2x+2（1-x）e^2x=（1-2x）e^2x，
令f'（x）=0，解得：極大值點(diǎn)：x=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）_max=$\frac{e}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，滲透了分類(lèi)討論思想，屬于中檔題