14.定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足下列條件:
①對任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f($\frac{x+y}{1+x+y}$);
②當x∈(-1,0)時,有f(x)>0,求證:
(1)f(x)是奇函數(shù);
(2)f(x)是單調(diào)遞減函數(shù);
(3)f($\frac{1}{11}$)+f($\frac{1}{19}$)+…+f($\frac{1}{{{n^2}+5n+5}}$)>f($\frac{1}{3}$),其中n∈N*

分析 (1)求出f(0)=0,利用函數(shù)的奇偶性的定義證明即可.
(2)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可.
(3)化簡通項公式,利用裂項法求和,然后分析$f(-\frac{1}{n+3})>0$,即可證明結(jié)論.

解答 證明:(1)令x=y=0代入$f(x)+f(y)=f(\frac{x+y}{1+xy})$,得到f(0)=0.
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x).
∴f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù).
(2)設(shè)-1<x1<x2<1,則$f({x_1})-f({x_2})=f({x_1})+f(-{x_2})=f(\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}})$
∵-1<x1<x2<1,∴|x1x2|=|x1||x2|<1,-1<x1x2<1.
又x1-x2<0,∴$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}<0$且$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}+1=\frac{{(1+{x_1})(1+{x_2})}}{{1-{x_1}{x_2}}}>0$,
∴$-1<\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}<0$,∴$f(\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}})>0$,∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2
所以f(x)在(-1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù).
(3)$f(\frac{1}{{{n^2}+5n+5}})=f[\frac{(n+3)-(n+2)}{(n+2)(n+3)-1}]=f[\frac{{\frac{1}{n+2}+(-\frac{1}{n+3})}}{{1+\frac{1}{n+2}(-\frac{1}{n+3})}}]$=$f(\frac{1}{n+2})+f(-\frac{1}{n+3})=f(\frac{1}{n+2})-f(\frac{1}{n+3})$
∴$f(\frac{1}{11})+f(\frac{1}{19})+…+f(\frac{1}{{{n^2}+5n+5}})$=$[f(\frac{1}{3})-f(\frac{1}{4})]+[f(\frac{1}{4})-f(\frac{1}{5})]+…+[f(\frac{1}{n+2})-f(\frac{1}{n+3})]$=$f(\frac{1}{3})-f(\frac{1}{n+3})=f(\frac{1}{3})+f(-\frac{1}{n+3})$
∵$0<\frac{1}{n+3}<1$,∴$f(-\frac{1}{n+3})>0$,∴$f(\frac{1}{3})+f(-\frac{1}{n+3})>f(\frac{1}{3})$.
故$f(\frac{1}{11})+f(\frac{1}{19})+…+f(\frac{1}{{{n^2}+5n+5}})>f(\frac{1}{3})$.

點評 本題考查抽象函數(shù)的應用,數(shù)列求和,函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性的應用,考查計算能力.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

19.(I)已知$cos(π+α)=-\frac{1}{2}$,α為第一象限角,求$cos(\frac{π}{2}+α)$的值;
(II)已知$cos(\frac{π}{6}-β)=\frac{1}{3}$,求$cos(\frac{5π}{6}+β)•sin(\frac{2π}{3}-β)$的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

20.某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品包括一等品和二等品,如果生產(chǎn)出一件一等品,可獲利200元,如果生產(chǎn)出一件二等品則損失100元,已知該廠生產(chǎn)該種產(chǎn)品的過程中,二等品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是:p=$\frac{3x}{4x+32}$(x∈N*),問該廠的日產(chǎn)量為多少件時,可獲得最大盈利,并求出最大日盈利額.(二等品率p為日產(chǎn)二等品數(shù)與日產(chǎn)量的比值)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

2.己知橢圓l0x2+5y2=27,過定點C(2,0)的兩條互相垂直的動直線分別交橢圓于P,Q兩點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左、右焦點,O為坐標原點.
(1)求向量|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的最值;
(2)當向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$與$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$+$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$互相垂直時,求P,Q兩點所在直線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

9.雙曲線$\frac{x^2}{{25-{m^2}}}$-$\frac{y^2}{{11+{m^2}}}$=1(0<m<5)的焦距為( 。
A.6B.12C.36D.$2\sqrt{14-2{m^2}}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

19.給出以下四個結(jié)論,正確的個數(shù)為(  )
①函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x圖象的對稱中心是($\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$,0)k∈Z;
②在△ABC中,“A>B”是“cos2A<cos2B”的充分不必要條件;
③在△ABC中,“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的必要不充分條件;
④若將函數(shù)f(x)=sin(2x-$\frac{π}{3}$)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位后變?yōu)榕己瘮?shù),則φ的最小值是$\frac{π}{12}$.
A.0B.2C.3D.1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

6.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù),則f(-1)與f(2)的大小關(guān)系是( 。
A.f(-1)≥f(2)B.f(-1)≤f(2)C.f(-1)>f(2)D.f(-1)<f(2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.設(shè)全集為R,A={x|x<2},B={x|x≥-3}.
(Ⅰ)求∁R(A∩B);∁R(A∪B);(∁RA)∪(∁RB);(∁RA)∩(∁RB);
(Ⅱ)由(Ⅰ)你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結(jié)論,請寫出來.(不需證明)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.某企業(yè)根據(jù)市場需求,決定生產(chǎn)一款大型設(shè)備,生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬元,每生產(chǎn)x臺,需投入成本C(x)萬元,若年產(chǎn)量不足80臺時,C(x)=$\frac{1}{2}$x2+40x萬元,若年產(chǎn)量等于或超過80臺時,C(x)=101x+$\frac{8100}{x}$-2180萬元,每臺設(shè)備售價為100萬元,通過市場分析該企業(yè)生產(chǎn)的這種設(shè)備能全部售完.
(1)求年利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(臺)的函數(shù)關(guān)系;
(2)年產(chǎn)量為多少臺時,該企業(yè)的設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案