Question

14．二次函數f（x）=ax²-$\sqrt{2}$bx+c，其中a，b，c是某鈍角三角形的三邊，且三邊中b最長．
（1）試證明函數有兩個零點；
（2）若a=c，試求零點α，β間距離|α-β|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）證明方程有兩個不等實根，即只要驗證△＞0即可．
（2）根據二次方程根與系數的關系，將|α-β|轉化為某變量的函數，再求它的變化范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）在鈍角△ABC中，b邊最長．
$則{b^2}＞{a^2}+{c^2}，△={（-\sqrt{2}b）^2}-4ac=2{b^2}-4ac＞2（{a^2}+{c^2}）-4ac=2{（a-c）^2}≥0$，
∴函數有兩個零點．
（2）零點為α，β．又a=c，
∴${|{α-β}|^2}={（{α+β}）^2}-4αβ=\frac{{2{b^2}}}{a^2}-4$=$\frac{{2（{a^2}+{c^2}-2accosB）-4{a^2}}}{a^2}=-4cosB$，
∵-1＜cosB＜0，
∴0＜-4cosB＜4，
∴0＜|α-β|＜2．

點評 本題是以一元二次方程作為，考查解三角形的有關定理，余弦定理作為研究三角形邊角關系的一大工具，應用廣泛．通過余弦定理溝通了三角函數與三角形有關性質，在研究較復雜的三角形問題時，常需正、余弦定理聯(lián)袂出場、密切協(xié)作，方能解決問題，屬于中檔題．