Question

（1）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若a+c=1，∠B=30°，求b的取值范圍．
（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若b=4，∠B=60°，求S_△ABC的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，通過(guò)基本不等式求解即可．
（2）利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積的公式即可得出．

解答： 解：（1）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若a+c=1，∠B=30°，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-

3

ac=（a+c）²-（2+

3

）ac=1-（2+

3

）ac，
∵ac≤（

a+c

2

）²
∴ac≤

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=

1

2

時(shí)等號(hào)成立．
可得b²≥1-

2+ 3

4

=

2- 3

4

．∴b≥

6 - 2

4

，b＜a+c=1，
b的取值范圍：[

6 - 2

4

，1)．
（2）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
∴16=a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac．當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)即思想是正三角形時(shí)，取等號(hào)．
∴S_△ABC=

1

2

acsin60°≤

1

2

×16×

3

2

=4

3

．
∴△ABC面積的最大值為4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．