已知函數(shù)y=f(x)=3x+
x-2
x+1

(1)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù);
(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數(shù)根.
考點:反證法與放縮法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題:證明題,反證法,函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析:(1)應用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù)即可;
(2)用反證法證明方程f(x)=0無負數(shù)根,基本步驟是假設存在x0<0(x0≠-1),使f(x0)=0,
經(jīng)過推理得出矛盾,從而證明方程f(x)=0沒有負數(shù)根.
解答: 解:(1)證明:∵函數(shù)y=f(x)=3x+
x-2
x+1
=3x-
3
x+1
+1,
任取x1、x2∈(-1,+∞),且x1<x2
∴f(x1)-f(x2)=(3x1-
3
x1+1
+1)-(3x2-
3
x2+1
+1)
=(3x1-3x2)+
3(x1-x2)
(x1+1)(x2+1)
;
∵-1<x1<x2,
3x1-3x2>0,x1-x2>0,(x1+1)(x2+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)>0;
即f(x1)<f(x2),
∴函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù);
(2)證明:假設方程f(x)=0有負數(shù)根,不妨設存在x0<0(x0≠-1),使f(x0)=0,
3x0=-
x0-2
x0+1

又0<3x0<1,
∴0<-
x0-2
x0+1
<1,
解得
1
2
<x0<2,
這與假設x0<0矛盾,
∴方程f(x)=0沒有負數(shù)根.
點評:本題考查了應用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題,也考查了反證法的應用問題以及函數(shù)的零點與方程根的問題,是綜合題目.
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如果存在滿足
1
x
+
m
y
=1的變量x,y(x>0,y>0),使得x+y-
x2+y2
最得最大值,則m的取值范圍是
 

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1+lnx
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k
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A、(-∞,-2
10
]∪[2
10
,+∞)
B、(-2
10
,2
10
C、(-2
10
,-6]
D、[6,2
10

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已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
1
3
an+n,n為奇數(shù)
an-3n,n為偶數(shù)
,求證:數(shù)列{a2n-
3
2
}是等比數(shù)列.

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1
5
,則f(log25)=
 

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