Question

已知函數(shù)y=f（x）=3^x+

x-2

x+1

．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）用反證法證明方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：證明題,反證法,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)即可；
（2）用反證法證明方程f（x）=0無負(fù)數(shù)根，基本步驟是假設(shè)存在x₀＜0（x₀≠-1），使f（x₀）=0，
經(jīng)過推理得出矛盾，從而證明方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．

解答： 解：（1）證明：∵函數(shù)y=f（x）=3^x+

x-2

x+1

=3^x-

3

x+1

+1，
任取x₁、x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（3x1-

3

x1+1

+1）-（3x2-

3

x2+1

+1）
=（3x1-3x2）+

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

；
∵-1＜x₁＜x₂，
∴3x1-3x2＞0，x₁-x₂＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0；
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）證明：假設(shè)方程f（x）=0有負(fù)數(shù)根，不妨設(shè)存在x₀＜0（x₀≠-1），使f（x₀）=0，
則3x0=-

x0-2

x0+1

，
又0＜3x0＜1，
∴0＜-

x0-2

x0+1

＜1，
解得

1

2

＜x₀＜2，
這與假設(shè)x₀＜0矛盾，
∴方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了反證法的應(yīng)用問題以及函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的問題，是綜合題目．