Question

【題目】已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）判斷函數(shù)在內(nèi)零點的個數(shù)，并說明理由；

（Ⅱ），，使得不等式成立，試求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）1（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求函數(shù)的導數(shù) ，判斷導數(shù)的正負，得到函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在性定理得到零點的個數(shù)；（Ⅱ）不等式等價于，根據(jù)導數(shù)分別求兩個函數(shù)的最小值和最大值，建立不等式求的取值范圍；（Ⅲ）利用分析法逐步找到使命題成立的充分條件，即，證明，求的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)在上的零點的個數(shù)為1，，

理由如下：因為，所以.

因為，所以.

所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).

因為，，

根據(jù)函數(shù)零點存在性定理得

函數(shù)在上的零點的個數(shù)為1.

（Ⅱ）因為不等式等價于，

所以，，使得不等式成立，等價于，

當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以時，取得最小值-1，

又，由于，，，

所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.

因此，時，取得最大值.

所以，所以，

所以實數(shù)的取值范圍是.

（Ⅲ）當時，要證，只要證，

只要證，

只要證，

由于，只要證.

下面證明時，不等式成立.

令，則，

當時，，是單調(diào)遞減；

當時，，是單調(diào)遞增.

所以當且僅當時，取得極小值也就是最小值為1.

令，其可看作點與點連線的斜率，

所以直線的方程為：，

由于點在圓上，所以直線與圓相交或相切，

當直線與圓相切且切點在第二象限時，

當直線取得斜率的最大值為1.

故時，；時，.

綜上所述，當時，成立.