【題目】已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)判斷函數(shù)內(nèi)零點的個數(shù),并說明理由;

(Ⅱ),,使得不等式成立,試求實數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)若,求證:.

【答案】(1)1(2)(3)見解析

【解析】試題分析:(Ⅰ)首先求函數(shù)的導數(shù) ,判斷導數(shù)的正負,得到函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)零點存在性定理得到零點的個數(shù);(Ⅱ)不等式等價于,根據(jù)導數(shù)分別求兩個函數(shù)的最小值和最大值,建立不等式求的取值范圍;(Ⅲ)利用分析法逐步找到使命題成立的充分條件,即,證明,求的取值范圍.

試題解析:(Ⅰ)函數(shù)上的零點的個數(shù)為1,,

理由如下:因為,所以.

因為,所以.

所以函數(shù)上是單調(diào)遞增函數(shù).

因為,,

根據(jù)函數(shù)零點存在性定理得

函數(shù)上的零點的個數(shù)為1.

(Ⅱ)因為不等式等價于,

所以,,使得不等式成立,等價于,

時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以時,取得最小值-1,

,由于,,,

所以,故在區(qū)間上單調(diào)遞增.

因此,時,取得最大值.

所以,所以

所以實數(shù)的取值范圍是.

(Ⅲ)當時,要證,只要證,

只要證

只要證,

由于,只要證.

下面證明時,不等式成立.

,則,

時,,是單調(diào)遞減;

時,,是單調(diào)遞增.

所以當且僅當時,取得極小值也就是最小值為1.

,其可看作點與點連線的斜率,

所以直線的方程為:,

由于點在圓上,所以直線與圓相交或相切,

當直線與圓相切且切點在第二象限時,

當直線取得斜率的最大值為1.

時,;時,.

綜上所述,當時,成立.

練習冊系列答案
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甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)

運行
次數(shù)n

輸出y的值
為1的頻數(shù)

輸出y的值
為2的頻數(shù)

輸出y的值
為3的頻數(shù)

30

14

6

10

2100

1027

376

697

乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)

運行
次數(shù)n

輸出y的值
為1的頻數(shù)

輸出y的值
為2的頻數(shù)

輸出y的值
為3的頻數(shù)

30

12

11

7

2100

1051

696

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