Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n對(duì)?_n∈N^*恒成立，則整數(shù)λ的最大值為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式求得首項(xiàng)，然后構(gòu)造出等差數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}，求出通項(xiàng)后代入不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n，整理后得到5-λ＞$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$．然后根據(jù)數(shù)列b_n=$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$單調(diào)性求得最值得答案．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2²，得a₁=4；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，又S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
兩式相減得，a_n=2a_n-1+2ⁿ，
即有$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1．
又$\frac{{a}_{1}}{2}$=2，
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+n-1，
即a_n=（n+1）•2ⁿ，
∵a_n＞0，∴不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n，等價(jià)于5-λ＞$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$．
記b_n=$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$．
n≥2時(shí)，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}}{\frac{2n-3}{{2}^{n}}}$=$\frac{2n-1}{4n-6}$．
∴n≥3時(shí)，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$＜1，（b_n）_max=b₃=$\frac{3}{8}$．
∴5-λ＞$\frac{3}{8}$，即λ＜5-$\frac{3}{8}$=$\frac{37}{8}$，
∴整數(shù)λ的最大值為4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了恒成立問(wèn)題，是中檔題．