Question

9．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=1，-2a_n與a_n+1是方程x²-2ⁿx-（n+1）b_n=0的兩個根．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）由題意得a_n+1-2a_n=2ⁿ，從而可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，從而可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$n，從而解得；
（Ⅱ）由題意可得b_n=2n•2^2n-1，利用錯位相減法求其前n項(xiàng)和即可．

解答 解：（I）∵-2a_n與a_n+1是方程x²-2ⁿx-（n+1）b_n=0的兩個根，
∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
故$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$n，
故a_n=n•2^n-1，
（Ⅱ）∵-2a_n與a_n+1是方程x²-2ⁿx-（n+1）b_n=0的兩個根，
∴-2a_n+1a_n=-（n+1）b_n，
∴（n+1）b_n=2（（n+1）•2ⁿ）（n•2^n-1），
故b_n=2n•2^2n-1，
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
故T_n=2•2+4•2³+6•2⁵+…+2n•2^2n-1，
4T_n=2•2³+4•2⁵+6•2⁷+…+2n•2²ⁿ⁺¹，
兩式相減得，
3T_n=2n•2²ⁿ⁺¹-2（2³+2⁵+…+2^2n-1）-4
=2n•2²ⁿ⁺¹-$\frac{16（{4}^{n-1}-1）}{3}$-4，
故T_n=$\frac{1}{3}$（2n•2²ⁿ⁺¹-$\frac{16（{4}^{n-1}-1）}{3}$-4）．

點(diǎn)評 本題考查了構(gòu)造數(shù)列的應(yīng)用及數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，同時考查了錯位相減法的應(yīng)用．