Question

14．正四面體ABCD的棱CD在平面α上，E為棱BC的中點，當正四面體ABCD繞CD旋直線AE與平面α所成最大角的正弦值為$\frac{\sqrt{33}}{6}$．

Answer 1

分析 取CD的中點O為原點建立空間直角坐標系，則α的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），設平面BCD與平面α所成的二面角為θ，正四面體邊長為2，用θ表示出$\overrightarrow{AE}$的坐標，利用三角恒等變換計算|cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{n}$＞|的最大值即可．

解答 解：取CD的中點O，在平面α內過O作y軸⊥CD，作z軸⊥平面α，以O為原點建立空間直角坐標系如圖所示：
作EM⊥CD，垂足為M，
設平面BCD與平面α所成的二面角為θ，正四面體邊長為2，則AO=BO=AE=$\sqrt{3}$，EM=$\frac{1}{2}$BO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．OM=$\frac{1}{4}$CD=$\frac{1}{2}$．
∴cos∠AOB=$\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}-A{B}^{2}}{2OA•OB}$=$\frac{1}{3}$．
∴E（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ），A（0，-$\sqrt{3}$cos（θ+∠AOB），$\sqrt{3}$sin（θ+∠AOB），）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\sqrt{3}$cos（θ+∠AOB），$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ-$\sqrt{3}$sin（θ+∠AOB））．
∵$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面α的一個法向量，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ-$\sqrt{3}$sin（θ+∠AOB）=$\frac{\sqrt{3}}{6}$sinθ-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$cosθ=$\frac{\sqrt{11}}{2}$sin（θ+φ），
∵|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=1，∴cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{33}}{6}$sin（θ+φ）
∴直線AE與平面α所成最大角的正弦值為$\frac{\sqrt{33}}{6}$．
故答案為$\frac{\sqrt{33}}{6}$．

點評 本題考查了空間向量在立體幾何中的應用，線面角的計算，屬于中檔題．