Question

9．已知圓x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）此方程表示圓，求m的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線x+2y-4=0相交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求以MN為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）利用配方法將圓的方程化為一般式，列出不等式求出m的取值范圍；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和圓的方程消去x化簡(jiǎn)，由韋達(dá)定理求出“y₁+y₂”和“y₁y₂”，結(jié)合條件和向量的數(shù)量積運(yùn)算列出方程求出m，代入方程求出M、N的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心坐標(biāo)，再求出半徑即可求出以MN為直徑的圓的方程．

解答 解：（1）圓：x²+y²-2x-4y+m=0，可化為（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∵此方程表示圓，∴5-m＞0，即m＜5．…（4分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+m=0}\end{array}\right.$消去x得，
（4-2y）²+y²-2×（4-2y）-4y+m=0，化簡(jiǎn)得5y²-16y+m+8=0，
則y₁+y₂=$\frac{16}{5}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{m+8}{5}$，
∵以MN為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，∴OM⊥ON，
則$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，∴y₁y₂+x₁x₂=0，
即y₁y₂+（4-2y₁）（4-2y₂）=0，
∴16-8（y₁+y₂）+5y₁y₂=0，
∴16-8×$\frac{16}{5}$+5×$\frac{m+8}{5}$=0，解之得m=$\frac{8}{5}$．…（8分）
由m=$\frac{8}{5}$，代入5y²-16y+m+8=0，
化簡(jiǎn)整理得25y²-80y+48=0，解得y₁=$\frac{12}{5}$，y₂=$\frac{4}{5}$．
∴x₁=4-2y₁=-$\frac{4}{5}$，x₂=4-2y₂=$\frac{12}{5}$，
則M（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），N（$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$），∴MN的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），
又|MN|=$\sqrt{（\frac{12}{5}+\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}-\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∴所求圓的半徑為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴所求圓的方程為（x-$\frac{4}{5}$）²+（y-$\frac{8}{5}$）²=$\frac{16}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系，向量的數(shù)量積運(yùn)算，及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，屬于中檔題．