Question

已知函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0）
（1）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（x）在區(qū)間[

1

2

，4]上取得最大值為5，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的單調性定義，在給定的區(qū)間上取值，作差，判正負，下結論，即可證得；
（2）函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

在區(qū)間[

1

2

，4]上是增函數(shù)，即可求實數(shù)a的值．

解答： 解：（1）設任意x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

x1-x2

x1x2

∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

在區(qū)間[

1

2

，4]上是增函數(shù)
∴f（4）=5，
∴a=

4

21

．

點評：本題考查了用單調性定義證明函數(shù)在某一區(qū)間上的增減性問題，是基礎題．