Question

已知函數(shù)f（x）滿足條件f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，x，y∈N^*，又f（1）=1，求f（x）．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：先令y=1，得到f（x+1）-f（x）=1+x，再分別取x=1，2，3，…x，利用累加法求出f（x）

解答： 解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，x，y∈N^*，f（1）=1
令y=1，
∴f（x+1）=f（x）+f（1）+x=f（x）+1+x，
即f（x+1）-f（x）=1+x，
當x=1時，f（2）-f（1）=1+1=2，
當x=2時，f（3）-f（2）=1+2=3，
當x=3時，f（4）-f（3）=1+3=4，
…
當x=x-1時，f（x）-f（x-1）=1+x-1=x，
左邊相加，右邊相加得，
f（x）-f（1）=2+3+…x，
∴f（x）=1+2+3+…x=

x(x+1)

2

．

點評：本題主要考查了函數(shù)解析式的求法，利用賦值法和累加法，培養(yǎng)了學生的轉化能力和抽象思維能力，屬于中檔題．