Question

8．設(shè)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=\sqrt{3}+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）表示的曲線為C．
（1）求曲線C上的動點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的最小值；
（2）點(diǎn)P為曲線C上的動點(diǎn)，當(dāng)|OP|最小時（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得出距離關(guān)于θ的函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出距離的最小值；
（2）將（1）中的θ值代入?yún)��?shù)方程解出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)得距離為d，
則d²=x²+y²=（1+cosθ）²+（$\sqrt{3}$+sinθ）²=5+2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ=5+4sin（θ+$\frac{π}{6}$）．
∴當(dāng)sin（θ+$\frac{π}{6}$）=-1時，d²取得最小值1，
∴d的最小值為1．
（2）由（1）知當(dāng)θ+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ即θ=-$\frac{2π}{3}$+2kπ時，|OP|最�。�
∴x=1+cos（-$\frac{2π}{3}$+2kπ）=$\frac{1}{2}$，y=$\sqrt{3}$+sin（-$\frac{2π}{3}$+2kπ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用，距離公式，三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．