某水庫進(jìn)入汛期后的水位升高量h（n）（單位：標(biāo)高）與進(jìn)入訊期的天數(shù)n的關(guān)系是h（n）=20
5m2+6n
，汛期共計40天，剛進(jìn)入汛期時水庫水位為220（標(biāo)高），而水庫警戒線水位是400（標(biāo)高），水庫共有水閘15個，每開啟一個泄洪，一天可使水庫的水位下降4（標(biāo)高）．
（1）若不開啟水閘泄洪，這個汛期水庫是否有危險？若有危險，將發(fā)生在第幾天？
（2）若要保證水庫安全，則在進(jìn)入訊期的第一天起每天開啟p個水閘泄洪，求p的最小值．
（參考數(shù)據(jù)：2.272≈5.15，2.312≈5.34）
考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）進(jìn)入汛期的水庫水位標(biāo)高f（n）=20
5n2+6n
+220．令20
5n2+6n
+220＞400，可得結(jié)論；
（2）設(shè)每天開啟p個水閘泄洪，則f（n）=20
5n2+6n
++220-4np，令20
5n2+6n
++220-4np≤400，即p≥
5
5n2+6n
-45
n
=5（
5+
6
n
-
9
n
），證明函數(shù)g（n）=
5+
6
n
-
9
n
為增函數(shù)，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）進(jìn)入汛期的水庫水位標(biāo)高f（n）=20
5n2+6n
+220．
令20
5n2+6n
+220＞400，整理得5n2+6n＞81，代值驗證得n≥4，所以，在第4天會發(fā)生危險．
（2）設(shè)每天開啟p個水閘泄洪，則f（n）=20
5n2+6n
+220-4np，
令20
5n2+6n
+220-4np≤400，
即p≥
5
5n2+6n
-45
n
=5（
5+
6
n
-
9
n
）
下面證明函數(shù)g（n）=
5+
6
n
-
9
n
為增函數(shù)．
事實上，令g（x）=
5+
6
x
-
9
x
（x≥1），
g′（x）=
3
x3
（3-
1
5+
6
x
）．
當(dāng)x≥1時，g′（x）＞0，∴g（x）在x≥1時為增函數(shù)，
所以g（n）=
5+
6
n
-
9
n
為增函數(shù)．  
于是g（n）max=g（40）=p≥5×2.04=10.20．
故知每天開啟11個水閘泄洪，才能保證水庫安全，p的最小值為11．
點評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，確定函數(shù)模型是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一元二次不等式（x-1）（x-3）＜0的解集是（　　）
A、（-∞，1）
B、（1，3）
C、（3，+∞）
D、（-∞，1）∪（3，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=sin2x+sin2（x-
π
12
）+sin2（x+
π
12
），△ABC中，a，b，c是A，B，C所對的邊．
（Ⅰ）若x∈[-1，1]，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若a=2
3
，B=
π
4
，f（A）=
7+
3
4
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)圓C1：x2+y2=5與拋物線C2：x2=2py（p＞0）在第一象限內(nèi)的交點為R（2，m）．
（Ⅰ）求m的值及拋物線C2的方程；
（Ⅱ）若P在拋物線C2在兩點O，R之間的部分運動，其中O為坐標(biāo)原點，直線l過點P且與拋物線C2只有一個公共點，l與圓C1相交于兩點A，B，求△OAB的面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若拋物線y2=4x的焦點與橢圓的右焦點重合，橢圓與軸的上半軸交于點B2，與軸的右半軸交于點A2，橢圓的左、右焦點為F1、F2，且3|
F1B2
|cos∠B2F1F2=
3
|
OB2
|
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點D（0，2）的直線，斜率為k（k＞0），與橢圓交于M，N兩點．
（i）若M，N的中點為H，且存在非零實數(shù)，使得
OH
=λ
A2B2
，求出斜率k的值；
（ii）在軸上是否存在點Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個菱形？若存在求出m的范圍，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某地區(qū)交通執(zhí)法部門從某日上午9時開始對經(jīng)過當(dāng)?shù)氐?00輛超速車輛的速度進(jìn)行測量并分組，并根據(jù)測得的數(shù)據(jù)制作了頻率分布表如下，若以頻率作為事件發(fā)生的概率．
組號超速分組頻數(shù)頻率
頻率
組距
1[0，20%）1760.08 z
2[20%，40%）120.060.30
3[40%，60%）6y0.15
4[60%，80%）40.020.10
5[80%，100%]x0.010.05
（Ⅰ）求x，y，z的值，并估計該地區(qū)的超速車輛中超速不低于20%的頻率；
（Ⅱ）若在第2，3，4，5組用分層抽樣的方法隨機抽取12名司機做回訪調(diào)查，并在這12名司機中任意選3人，求這3人中超速在[20%，80%）之間的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2-（
2
n
+1）an（n∈N+）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{
an
n
}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{2n+1an+1}的前n項和為Tn，求
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2=3的半徑等于橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短半軸長，橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi)，且到直線l：y=x-
6
的距離為
3
-
2
2
，點M是直線l與圓C的公共點，設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：|AF|-|BF|=|BM|-|AM|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過點P（1，2），且與直線3x+2y-1=0垂直的直線方程是
 
．

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同步練習(xí)冊答案