Question

已知圓C：x²+y²=3的半徑等于橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短半軸長，橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓C內(nèi)，且到直線l：y=x-

6

的距離為

3

-

2

2

，點(diǎn)M是直線l與圓C的公共點(diǎn)，設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：|AF|-|BF|=|BM|-|AM|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)F（c，0）（c＞0），由已知條件得|c-

6

|=

6

-1，圓C的半徑等于橢圓E的短半軸長，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由圓心O到直線l的距離為

|- 6 |

2

=

3

，得|AM|=

|OA2|-|OM2|

=

x 2 1 + y 2 1 -3

，由已知條件推導(dǎo)出|AF|+|AM|=2，|BF|+|BM|=2，由此能證明|AF|-|BF|=|BM|-|AM|．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)點(diǎn)F（c，0）（c＞0），
則F到直線l的距離為

|c- 6 |

2

=

3

-

2

2

，
即|c-

6

|=

6

-1，…（2分）
因為F在圓C內(nèi)，所以c＜

3

，故c=1；…（4分）
因為圓C的半徑等于橢圓E的短半軸長，所以b²=3，
橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（Ⅱ）證明：因為圓心O到直線l的距離為

|- 6 |

2

=

3

，
所以直線l與圓C相切，M是切點(diǎn)，
故△AOM為直角三角形，
所以|AM|=

|OA2|-|OM2|

=

x 2 1 + y 2 1 -3

，
又

x12

4

+

y12

3

=1，得|AM|=

1

2

x1，…（7分）
|AF|=

(x1-1)2+ y 2 1

，
又

x12

4

+

y12

3

=1，得|AF|=2-

1

2

x1，…（9分）
所以|AF|+|AM|=2，同理可得|BF|+|BM|=2，…（11分）
所以|AF|+|AM|=|BF|+|BM|，
即|AF|-|BF|=|BM|-|AM|．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩組線段差相等的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．