Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x^2+4x，x≤0}\\{ln（x+1），x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-mx有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [1，4]
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，4]
• D． （-∞，0]∪[1，4]

Answer 1

分析 若函數(shù)g（x）=f（x）-mx有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)f（x）與函數(shù)y=mx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：若函數(shù)g（x）=f（x）-mx有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)f（x）與函數(shù)y=mx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
在同在坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象如下圖所示：

∵f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2x+4，x≤0\\ \frac{1}{x+1}，x＞0\end{array}\right.$，
故當(dāng)m∈（-∞，0]∪[1，4]時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)g（x）=f（x）-mx有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．