Question

20．在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）若α=$\frac{π}{3}$，求線段AB的長(zhǎng)度；
（2）若直線的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{4}$，且有已知點(diǎn)P（2，$\sqrt{3}$），求證：|PA|•|PB|=|OP|²．

Answer 1

分析 （1）由曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得C的普通方程．當(dāng)$α=\frac{π}{3}$時(shí)，直線方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入代入曲線C的普通方程，得13t²+56t+48=0，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式即可得出．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，化為：（cos²α+4sin²α）t²+（8$\sqrt{3}$sinα+4cosα）t+12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）由曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），可得C的普通方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
當(dāng)$α=\frac{π}{3}$時(shí)，直線方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入曲線C的普通方程，得13t²+56t+48=0，
則線段AB的長(zhǎng)度為$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{{（-\frac{56}{13}）}^2}-4×\frac{48}{13}}=\frac{{8\sqrt{10}}}{13}$．     
（2）證明：將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，
化為：（cos²α+4sin²α）t²+（8$\sqrt{3}$sinα+4cosα）t+12=0，
∵$|PA|•|PB|=|{t_1}•{t_2}|=\frac{12}{{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}=\frac{{12（{{cos}^2}α+{{sin}^2}α）}}{{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}=\frac{{12（1+{{tan}^2}α）}}{{1+4{{tan}^2}α}}$，
而直線的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{4}$，則$tanα=\frac{{\sqrt{5}}}{4}$代入上式求得|PA|•|PB|=7．
又 $OP=\sqrt{{2^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}=\sqrt{7}$，
∴|PA|•|PB|=|OP|²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題、一元二次方程的根與系數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．