Question

5．已知函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x+a（a∈R）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=lnx-ax=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用曲線的斜率，從而求解a的范圍；

解答 解：由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；
即方程lnx-ax=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；
轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
如右圖．
可見(jiàn)，若令過(guò)原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，
只須0＜a＜k．
令切點(diǎn)A（x₀，lnx₀），
故k=y′${|}_{x={x}_{0}}^{\;}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，又k=$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
故$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
解得，x₀=e，
故k=$\frac{1}{e}$，
故0＜a＜$\frac{1}{e}$．
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用，屬于中檔題．