Question

【題目】設(shè)函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈N* ， b，c∈R）
（Ⅰ）設(shè)n≥2，b=1，c=﹣1，證明：fn（x）在區(qū)間（ ）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)n=2，若對(duì)任意x1 ， x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）n≥2，b=1，c=﹣1時(shí)，fn（x）=xn+x﹣1，
∵ fn（1）= ＜0，
∴fn（x）在區(qū)間（ ）內(nèi)存在零點(diǎn)，
又 +1＞0，
∴fn（x）在區(qū)間（ ，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
故fn（x）在區(qū)間（ ）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（Ⅱ）當(dāng)n=2時(shí)， ，
對(duì)任意的x1 ， x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4等價(jià)于f2（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值之差M=f（x）max﹣f（x）min≤4，
據(jù)此分類討論如下：
①當(dāng)| |＞1，即|b|＞2時(shí)，M=|f2（1）﹣f2（﹣1）|=2|b|＞4，與題設(shè)矛盾；
②當(dāng)﹣1 ＜0，即0＜b≤2時(shí)，M= = ≤4恒成立；
②當(dāng)0＜﹣ ，即﹣2≤b≤0時(shí)，M= = 恒成立；
綜上知﹣2≤b≤2
【解析】（Ⅰ）表示出fn（x），根據(jù)零點(diǎn)判定定理可得函數(shù)在區(qū)間（ ）內(nèi)存在零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)單調(diào)，從而可得零點(diǎn)的唯一性；（Ⅱ）對(duì)任意的x1 ， x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4等價(jià)于f2（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值之差M=f（x）max﹣f（x）min≤4，按照對(duì)稱軸在區(qū)間[﹣′1，1]的外邊、內(nèi)部進(jìn)行分類討論，可得函數(shù)的最大值、最小值及最大值與最小值的差．