Question

已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)M（1，2），它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓和雙曲線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求這三條曲線的方程；
（2）已知?jiǎng)又本�l過點(diǎn)P（3，0），交拋物線于A，B兩點(diǎn)，是否存在垂直于x軸的直線l′被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出L′的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，把點(diǎn)M（1，2）代入拋物線的方程，求得拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，再把點(diǎn)M（1，2），代入橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得結(jié)果；
（2）設(shè)AP的中點(diǎn)為C，l'的方程為：x=a，以AP為直徑的圓交l'于D，E兩點(diǎn)，DE中點(diǎn)為H，根據(jù)垂徑定理即可得到方程|DH|2=|DC|2-|CH|2=

1

4

[(x1-3)2+y12]-

1

4

[(x1-2a)+3]2=（a-2）x₁-a²+3a，探討該式何時(shí)是定值．

解答：解：（1）設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），將M（1，2）代入方程得p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x；由題意知橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)為F（-1，0）₁，F(xiàn)₂（1，0），∴c=1；
對(duì)于橢圓，2a=|MF₁|+|MF₂|=

(1+1)2+22

+

(1-1)2+4

=2+2

2

；∴a=1+

2

∴a2=(1+

2

)2=3+2

2

∴b²=a²-c²=2+2

2

∴橢圓方程為：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1
對(duì)于雙曲線，2a'=||MF₁|-|MF₂||=2

2

-2
∴a'=

2

-1
∴a'²=3-2

2

∴b'²=c'²-a'²=2

2

-2
∴雙曲線方程為：

x2

3-2 2

-

y2

2 2 -2

=1

（2）設(shè)AP的中點(diǎn)為C，l'的方程為：x=a，以AP為直徑的圓交l'于D，E兩點(diǎn)，DE中點(diǎn)為H．
令A(x1，y1)，∴C(

x1+3

2

，

y1

2

)
∴|DC|=

1

2

|AP|=

1

2

(x1-3)2+y12

|CH|=|

x1+3

2

-a|=

1

2

|(x1-2a)+3|
∴|DH|²=|DC|²-|CH|²=

1

4

[(x1-3)2+y12]-

1

4

[(x1-2a)+3]2
=（a-2）x₁-a²+3a
當(dāng)a=2時(shí)，|DH|²=-4+6=2為定值；
∴|DE|=2|DH|=2

2

為定值
此時(shí)l'的方程為：x=2

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．本題考查了橢圓與雙曲線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．其中問題（2）是一個(gè)開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，