已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn),橢圓和雙曲線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求這三條曲線的方程;
(2)對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)Q,點(diǎn)P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,求a的取值范圍.
分析:(1)由題意求出平行方程,得到橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),求出橢圓與雙曲線中a,b,然后求橢圓與雙曲線的方程;
(2)設(shè)出拋物線上任意一點(diǎn)Q的坐標(biāo),點(diǎn)P(a,0)求出|PQ|,利用|PQ|≥|a|恒成立,求a的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),
將M(1,2)代入方程得p=2
∴拋物線方程為:y2=4x
由題意知橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)為F(-1,0)1,F(xiàn)2(1,0),
∴c=1
對(duì)于橢圓,2a=|MF1|+|MF2|=
(1+1)2+22
+
(1-1)2+4
=2+2
2

a=1+
2
a2=3+2
2
b2=a2-c2=2+2
2

所以橢圓方程為
x2
3+2
2
+
y2
2+2
2
=1

對(duì)于雙曲線,2a′=||MF1|-|MF2||=2
2
-2

a/=
2
-1⇒a/2=3-2
2
,b/2=c/2-a/2=2
2
-2

所以雙曲線方程為
x2
3-2
2
+
y2
2
2
-2
=1

(2)設(shè)Q(
t2
4
,t)

由|PQ|≥|a|得(
t2
4
-a)2+t2a2,t2(t2+16-8a)≥0

t2+16-8a≥0,t2≥8a-16恒成立
則8a-16≤0,a≤2
∴a∈(-∞,2]
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線的共同特征,三種曲線的求法,兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力,考查轉(zhuǎn)化思想.
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(1)求這三條曲線的方程;
(2)已知?jiǎng)又本l過(guò)點(diǎn)P(3,0),交拋物線于A,B兩點(diǎn),是否存在垂直于x軸的直線l′被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值?若存在,求出L′的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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(1)求這三條曲線的方程;
(2)已知?jiǎng)又本l過(guò)點(diǎn)P(0,3),交拋物線于A、B兩點(diǎn),是否存在垂直于y軸的直線m被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值?若存在,求出m的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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(1)求這三條曲線的方程;

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