Question

16．對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱(chēng)點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的圖象的“拐點(diǎn)”，可以證明，任何三次函數(shù)的圖象都有“拐點(diǎn)”，任何三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心．請(qǐng)你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題：
①任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{3a}$，f（-$\frac{3a}$））對(duì)稱(chēng)；
②存在三次函數(shù)y=f（x），f（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱(chēng)點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱(chēng)中心；
③存在三次函數(shù)的圖象不止一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；
④若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{12}$，則g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=-1008
其中正確命題的序號(hào)為①②④（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對(duì)稱(chēng)中心；
②③利用三次函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷；
④由函數(shù)g（x）的對(duì)稱(chēng)中心是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），得g（x）+（g（1-x）=-1，由此能求出答案．

解答 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″（x）=6a×（-$\frac{3a}$）+2b=0，
∴任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{3a}$，f（-$\frac{3a}$））對(duì)稱(chēng)，即①正確；
∵任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心，
∴存在三次函數(shù)f′（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，點(diǎn)（x₀，f（x₀））為y=f（x）的對(duì)稱(chēng)中心，即②正確；
任何三次函數(shù)都有且只有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故③不正確；
∵g′（x）=x²-x，g^″（x）=2x-1，
令g^″（x）=0，可得x=$\frac{1}{2}$，∴g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{12}$對(duì)稱(chēng)中心為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴g（x）+g（1-x）=-1，
∴g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=-=-1×1008=-1008，故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，屬于難題．