【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,底面,點為棱的中點..
證明:平面.
若為棱上一點,滿足,求二面角的余弦值.
【答案】證明見解析;.
【解析】
在上找中點,連接,,利用三角形中位線性質(zhì)得出,因為底面是直角梯形,,所以能得出平行且等于,得出四邊形為平行四邊形,再利用線面平行的判定,即可證出平面;
根據(jù),求出向量的坐標,進而求出平面和平面的法向量,代入向量夾角公式,可得二面角的余弦值.
解:證明:在上找中點,連接,,圖象如下:
和分別為和的中點,
,且,
又底面是直角梯形,
,且,
且.即四邊形為平行四邊形.
.
平面,平面,
平面.
以為原點,以所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
可得,,,,,
,, .
由為棱上一點,設(shè),
所以,
由,得,
解得,
即,,
設(shè)平面的法向量為,
由可得
所以,令,則,則,
取平面的法向量為,
則二面角的平面角滿足:
,
故二面角的余弦值為.
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.
(1) 證明:PB∥平面AEC
(2) 設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積
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【題目】如圖,是邊長為1的正三角形,點P在所在的平面內(nèi),且(a為常數(shù)),下列結(jié)論中正確的是( )
A.當時,滿足條件的點P有且只有一個
B.當時,滿足條件的點P有三個
C.當時,滿足條件的點P有無數(shù)個
D.當a為任意正實數(shù)時,滿足條件的點總是有限個
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【題目】已知為正整數(shù)且,將等式記為式.
(1)求函數(shù),的值域;
(2)試判斷當時(或2時),是否存在,(或,,)使式成立,若存在,寫出對應(yīng),(或,,),若不存在,說明理由;
(3)求所有能使式成立的()所組成的有序?qū)崝?shù)對.
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【題目】已知橢圓C:+=1(a>b>0),且橢圓上的點到一個焦點的最短距離為b.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若點M(,)在橢圓C上,不過原點O的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,與直線OM相交于點N,且N是線段AB的中點,求△OAB面積的最大值.
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【題目】某足球俱樂部對“一線隊引援”和“青訓”投入分別規(guī)劃如下:2018年,該俱樂部在“一線隊引援”投入資金為16000萬元,“青訓”投入資金為1000萬元.計劃每年“一線隊引援”投入比上一年減少一半,“青訓”投入比上一年增加一倍.
(1)請問哪一年該俱樂部“一線隊引援”和“青訓”投入總和最少?
(2)從2018年起(包括2018年)該俱樂部從哪一年開始“一線隊引援”和“青訓”總投入之和不低于62000萬元?(總投入是指各年投入之和)
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【題目】如圖,B是AC的中點,,P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點,且.有以下結(jié)論:
①當x=0時,y∈[2,3];
②當P是線段CE的中點時,;
③若x+y為定值1,則在平面直角坐標系中,點P的軌跡是一條線段;
④x﹣y的最大值為﹣1;
其中你認為正確的所有結(jié)論的序號為_____.
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