Question

【題目】已知為正整數且，將等式記為式.

（1）求函數，的值域；

（2）試判斷當時（或2時），是否存在，（或，，）使式成立，若存在，寫出對應，（或，，），若不存在，說明理由；

（3）求所有能使式成立的（）所組成的有序實數對.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）和.

【解析】

（1）先判斷的單調性，再根據定義域進一步求值域；

（2）由題干和（1）知，時，，結合式判斷可確定不存在；

（3）可通過試值法，先確定，再通過試值法進一步確定，最終鎖定，

則，分別討論和進一步確定即可

（1）設，，，

故在上單增，，當時，，則

（2）由（1）知，設 為單調遞增函數，則時，，當時，，所以式不成立；

當時，，，式也不成立，故當時（或2時），不存在，（或，，）使式成立

（3）由得，，即，又由（2）可知，式不成立，故要使式成立，只能取，當時，即，

由題為正整數且，

若，否則原式為右邊至多為，式不成立

則，同理，否則原式右邊至多為，

因此可得，化簡得，

所以，當時；當時，

綜上所述，的所有可能解為：或