Question

3．已知$\frac{1}{3}≤a≤1$，若函數(shù)f（x）=ax²-2x+1的定義域[1，3]．
（1）求f（x）在定義域上的最小值（用a表示）；
（2）記f（x）在定義域上的最大值為M（a），最小值N（a），求M（a）-N（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=ax²-2x+1的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{a}$，由$\frac{1}{3}$≤a≤1，知1≤$\frac{1}{a}$≤3，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；
（2）由a的符號(hào)進(jìn)行分類討論，能求出M（a）-N（a）的解析式，從而求出其最小值即可．

解答 解：（1）f（x）=ax²-2x+1的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{a}$，
∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，∴1≤$\frac{1}{a}$≤3，
∴f（x）在[1，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，3]遞增，
∴f（x）在[1，3]上，所以$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{a}}）=1-\frac{1}{a}$；
（2）∵f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），
∴①當(dāng)1≤$\frac{1}{a}$≤2，即$\frac{1}{2}$≤a≤1時(shí)，
M（a）=f（3）=9a-5，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．
∴M（a）-N（a）=9a+$\frac{1}{a}$-6．
②當(dāng)2＜$\frac{1}{a}$≤3，即$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，
M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$
∴M（a）-N（a）=a+$\frac{1}{a}$-2，
∴$M（a）-N（a）=\left\{{\begin{array}{l}{a+\frac{1}{a}-2，a∈[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]}\\{9a+\frac{1}{a}-6，a∈（{\frac{1}{2}，1}]}\end{array}}\right.$，
當(dāng)$a∈[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$時(shí)，最小值為$\frac{1}{2}$，
當(dāng)$a∈（{\frac{1}{2}，1}]$時(shí)，最小值也是$\frac{1}{2}$，
綜上，M（a）-N（a）的最小值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．