在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為
x=
2
+t
y=t
(t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=1.
(Ⅰ)求直線(xiàn)l與圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù);
(Ⅱ)在平面直角坐標(biāo)系中,圓C經(jīng)過(guò)伸縮變換
x′=x
y′=2y
得到曲線(xiàn)C′,設(shè)M(x,y)為曲線(xiàn)C′上一點(diǎn),求4x2+xy+y2的最大值,并求相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo).
考點(diǎn):參數(shù)方程化成普通方程
專(zhuān)題:坐標(biāo)系和參數(shù)方程
分析:(Ⅰ)把直線(xiàn)l的參數(shù)方程、圓C的極坐標(biāo)方程化為普通方程,根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離d與圓半徑r的關(guān)系,判定直線(xiàn)l與圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù);
(Ⅱ)由圓C的參數(shù)方程求出曲線(xiàn)C′的參數(shù)方程,代入4x2+xy+y2中,求出4x2+xy+y2取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的M的坐標(biāo).
解答: 解:(Ⅰ)直線(xiàn)l的方程為x-y-
2
=0,圓C的方程是x2+y2=1;
∵圓心(0,0)到直線(xiàn)l的距離為d=
|0-0-
2
|
12+(-1)2
=1,等于圓的半徑r,
∴直線(xiàn)l與圓C的公共點(diǎn)有1個(gè);
(Ⅱ)圓C的參數(shù)方程是
x=cosθ
y=sinθ
,(0≤θ<2π);
∴曲線(xiàn)C′的參數(shù)方程是
x=cosθ
y=2sinθ

∴4x2+xy+y2=4cos2θ+cosθ•2sinθ+4sin2θ=4+sin2θ;
當(dāng)θ=
π
4
或θ=
4
時(shí),4x2+xy+y2取得最大值5,
此時(shí)M的坐標(biāo)為(
2
2
,
2
)或(-
2
2
,-
2
).
點(diǎn)評(píng):本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的應(yīng)用問(wèn)題,解題時(shí)可以把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程,以便正確解答問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=alnx+(x-c)|x-c|,a<0,c>0.
(1)當(dāng)a=-
3
4
,c=
1
4
時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)c=
a
2
+1時(shí),若f(x)≥
1
4
對(duì)x∈(c,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)P(x1,f(x1))、Q(x2,f(x2))兩處的切線(xiàn)分別為l1、l2.若x1=
-
a
2
,x2=c,且l1⊥l2,求實(shí)數(shù)c的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求函數(shù)y=
1
|sinx|
+
1
|cosx|
+
|cosx|
|sinx|
+
|sinx|
|cosx|
的最小值
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

橢圓
x2
9
+
y2
16
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在橢圓上,若|PF1|=3,則|PF2|=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,各項(xiàng)均為正數(shù),且a2a6=4,則a1a2…a7=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a∈N,關(guān)于x的不等式|x-2|<a的解集為A,且
3
2
∈A,
1
2
∉A.則函數(shù)f(x)=|x+a|-|x-2|的值域?yàn)?div id="rhtbnbd" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

計(jì)算:(
1
8
)-
2
3
+2lg2+lg25=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若(x-
1
ax
8展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為7,則a=( 。
A、-2
B、2
C、-
1
2
D、
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

等差數(shù)列{an}中,已知a1+a3=6,a5+a7=14,則a20+a22=(  )
A、44B、56C、42D、40

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