Question

6．已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax（a∈R）．
（1）若x=$\frac{2}{3}$為函數(shù)f（x）的極值點，求實數(shù)a的值；
（2）若a=-1時，方程f（1-x）-（1-x）³=b有實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若x=$\frac{2}{3}$為函數(shù)f（x）的極值點，則有$f'（\frac{2}{3}）=0$，解得：實數(shù)a的值；
（2）若a=-1時，方程f（1-x）-（1-x）³=b可化為：b=lnx+x-x²，令h（x）=lnx+x-x²，利用導數(shù)法，求出函數(shù)的最大值，可得實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{a}{ax+1}+3{x^2}-2x-a$=$\frac{{x[3a{x^2}+（3-2a）x-（{a^2}+2）]}}{ax+1}$
由于$x=\frac{2}{3}$為y=f（x）的極值點，則有$f'（\frac{2}{3}）=0$
即$3a{（\frac{2}{3}）^2}+\frac{2}{3}（3-2a）-（{a^2}+2）=0$且$\frac{2}{3}a+1≠0$，
解得a=0…（4分）
當a=0時，f'（x）=x（3x-2）
∵在$x=\frac{2}{3}$附近，$x＞\frac{2}{3}$時，f'（x）＞0；$x＜\frac{2}{3}$時，f'（x）＜0
∴$x=\frac{2}{3}$為函數(shù)y=f（x）的極值點成立．
∴a=0…（5分）
（2）當a=-1時，由方程f（1-x）-（1-x）³=b可得lnx-（1-x）²+（1-x）=b
∵b=lnx+x-x²，令h（x）=lnx+x-x²
∴$h'（x）=\frac{1}{x}+1-2x=\frac{（2x+1）（1-x）}{x}$
∵x＞0，則當0＜x＜1時，h'（x）＞0，從而h（x）在（0，1）上為增函數(shù)；
當x＞1時，h'（x）＜0，從而h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)
∴h（x）≤h（1）=0…（10分）
∵x＞0
∴b=lnx+x-x²≤0
即b的取值范圍為（-∞，0]…（12分）

點評 本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，恒成立問題，難度中檔．