Question

14．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}}$）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{4}$，且圖象過(guò)點(diǎn)M（$\frac{π}{3}，-1}$）
（1）求f（x）的解析式；       
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}}$]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意：圖象與x軸的交點(diǎn)，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{4}$，可得周期為$\frac{π}{2}$，可求得ω，圖象過(guò)點(diǎn)M（$\frac{π}{3}，-1}$）帶入可求得φ，即可得到解析式．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）根據(jù)三角函數(shù)平移變換的規(guī)律，求解g（x），在[0，$\frac{π}{2}}$]上求解g（x）的圖象．g（x）+k=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即圖象g（x）與y=-k，只有一個(gè)交點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意：圖象與x軸的交點(diǎn)，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{4}$，即$\frac{1}{2}T=\frac{π}{4}$，即T=$\frac{π}{2}$；
∵T=$\frac{π}{2}=\frac{2π}{ω}$，解得：ω=4，那么：f（x）=sin（4x+φ）．
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}}$．圖象過(guò)點(diǎn)M（$\frac{π}{3}，-1}$）帶入可求得φ=$\frac{π}{6}$，
∴解析式$f（x）=sin（{4x+\frac{π}{6}}）$；
（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：$4x+\frac{π}{6}$∈[2kπ$-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]，（k∈Z）是單調(diào)遞增區(qū)間，即：2kπ$-\frac{π}{2}$≤$4x+\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$]，解得：$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ$+\frac{π}{12}$]，（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：$[{-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}}]，k∈Z$；
（3）由（1）可知：$f（x）=sin（{4x+\frac{π}{6}}）$；將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位后，得到$y=sin（{4x-\frac{π}{3}}）$的圖象，
再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到$y=sin（{2x-\frac{π}{3}}）$的圖象．即g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$
∴$-\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$
g（x）+k=0在[0，$\frac{π}{2}}$]上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即圖象g（x）與y=-k，只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x=$-\frac{π}{3}$時(shí)，g（x）圖象取得最低點(diǎn)，即g（-$\frac{π}{3}$）=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．由正弦函數(shù)圖象可知：$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜k≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，以及k=-1時(shí)，也有一個(gè)交點(diǎn)．即實(shí)數(shù)k的取值范圍為：$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜k≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或k=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)圖象及性質(zhì)的運(yùn)用能力和化簡(jiǎn)能力，平移變換的規(guī)律，數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，屬于難題．