分析 可先畫出圖形,從而由條件得出$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$,兩邊平方進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出${\overrightarrow{AD}}^{2}=\frac{1}{4}(|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+6)$,根據(jù)不等式a2+b2≥2ab及數(shù)量積的計(jì)算公式即可得出${\overrightarrow{AD}}^{2}≥\frac{1}{4}(\frac{2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{\frac{1}{2}}+6)$,從而便可得出$|\overrightarrow{AD}|$的最小值.
解答 解:如圖,
根據(jù)條件:
$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$;
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}=\frac{1}{4}({\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2})$
=$\frac{1}{4}(|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+6)$
$≥\frac{1}{4}(2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|+6)$
=$\frac{1}{4}(\frac{2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos60°}{cos60°}+6)$
=$\frac{1}{4}(\frac{2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{cos60°}+6)$
=$\frac{9}{2}$;
∴$|\overrightarrow{AD}|≥\frac{3\sqrt{2}}{2}$;
即$|\overrightarrow{AD}|$的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
故答案為:$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
點(diǎn)評 考查向量加法的平行四邊形法則,向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式,以及不等式a2+b2≥2ab的運(yùn)用.
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A. | $\sqrt{5}$或-$\sqrt{5}$ | B. | $\sqrt{5}$或0 | C. | -$\sqrt{5}$或0 | D. | 0或$\sqrt{5}$或-$\sqrt{5}$ |
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A. | $\sqrt{2}$ | B. | -$\sqrt{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
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A. | ?x∉R,x2≠x | B. | ?x∈R,x2≠x | C. | ?x∉R,x2≠x | D. | ?x∈R,x2≠x |
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