Question

8．向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的夾角為60°，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，點D是線段BC的中點，則|$\overrightarrow{AD}$|的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 可先畫出圖形，從而由條件得出$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，兩邊平方進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出${\overrightarrow{AD}}^{2}=\frac{1}{4}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+6）$，根據(jù)不等式a²+b²≥2ab及數(shù)量積的計算公式即可得出${\overrightarrow{AD}}^{2}≥\frac{1}{4}（\frac{2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{\frac{1}{2}}+6）$，從而便可得出$|\overrightarrow{AD}|$的最小值．

解答 解：如圖，
根據(jù)條件：
$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2}）$
=$\frac{1}{4}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+6）$
$≥\frac{1}{4}（2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|+6）$
=$\frac{1}{4}（\frac{2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos60°}{cos60°}+6）$
=$\frac{1}{4}（\frac{2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{cos60°}+6）$
=$\frac{9}{2}$；
∴$|\overrightarrow{AD}|≥\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
即$|\overrightarrow{AD}|$的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計算公式，以及不等式a²+b²≥2ab的運(yùn)用．