20.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S10=110,S15=240.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由S10=110,S15=240.可得$10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}$d=110,$15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}$d=240,聯(lián)立解得a1,d,即可得出.
(2)bn=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2(n+1)}{2n}$+$\frac{2n}{2(n+1)}$=2+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出.

解答 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵S10=110,S15=240.
∴$10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}$d=110,$15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}$d=240,
聯(lián)立解得a1=d=2.
∴an=2+2(n-1)=2n.
(2)bn=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2(n+1)}{2n}$+$\frac{2n}{2(n+1)}$=2+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2n+$[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$=2n+1-$\frac{1}{n+1}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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x123
g(x)321
則方程g(f(x))=x的解集為{3}.

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A.3B.-3C.5D.-5

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