Question

17．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$．
（1）求函數(shù)f（x）最大值，并求出相應(yīng)的x的值；
（2）若關(guān)于x的不等式．f（x）≤|m-2|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)f（x）的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)法求得f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值；
（2）利用（1）中的結(jié)論f（x）_max=5，再解不等式5≤|m-2即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{5-x≥0}\end{array}\right.$得：0≤x≤5．
∵f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{2\sqrt{5-x}}$=$\frac{2\sqrt{5-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}•\sqrt{5-x}}$，
令f′（x）=0，解得x=4．
當(dāng)0≤x＜4時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$在區(qū)間[0，4）上單調(diào)遞增，
當(dāng)4＜x≤5時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$在區(qū)間（4，5]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=4時(shí)，f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$取得極大值，也是最大值，
∴f（x）_max=f（4）=5．
（2）若關(guān)于x的不等式．f（x）≤|m-2|恒成立，則|m-2|≥f（x）_max=5，
解得：m≤-3或m≥7．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（-∞，-3]∪[7，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)法求最值，求得f（x）_max=f（4）=5是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題．