Question

16．已知雙曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，拋物線C₂的頂點在原點，它的準(zhǔn)線過雙曲線C₁的焦點，若雙曲線C₁與拋物線C₂的交點P滿足PF₂⊥F₁F₂，則雙曲線C₁的離心率為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 先設(shè)出拋物線方程，進(jìn)而根據(jù)題意可得p與a和c的關(guān)系，把拋物線方程與雙曲線方程聯(lián)立，把x=c，y²=4cx，代入整理可得答案．

解答 解：設(shè)拋物線方程為y²=2px，依題意可知$\frac{p}{2}$=c，
∴p=2c，
拋物線方程與雙曲線方程聯(lián)立得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4cx}{^{2}}$=1，
把x=c，代入整理得e⁴-6e²+1=0
解得e=$\sqrt{2}$+1，
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用題設(shè)的已知條件找到a和c的關(guān)系．