Question

8．設(shè)a≥0，若函數(shù)y=cos²x-asinx+b的值域為[-4，0]．
（1）試求a與b的值；
（2）求出使y取得最大值、最小值時的x值；
（3）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）令sinx=t，由二次函數(shù)區(qū)間的最值，分類討論可得；
（2）由（1）可得y=-（t+1）²，由二次函數(shù)和三角函數(shù)知識易得；
（3）由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得．

解答 解：（1）令sinx=t，當(dāng)x∈R時，t∈[-1，1]，
換元可得y=1-t²-at+b=-（t+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1，
∵a≥0，∴二次函數(shù)的對稱軸t=-$\frac{a}{2}$≤0，
結(jié)合拋物線開口向下可得當(dāng)-$\frac{a}{2}$≤-1即a≥2時，
t=-1時，y_max=a+b=0，t=1時，y_min=-a+b=-4，
聯(lián)立解得a=2，b=-2符合題意；
當(dāng)-1＜-$\frac{a}{2}$≤0即0≤a＜2時，
t=-$\frac{a}{2}$時，y_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1=0，t=1時，y_min=-a+b=-4，
聯(lián)立解得a=-6且b=-10，或a=2且b=-2均不符合題意；
綜上可得a為2且b為-2；
（2）由（1）可得y=-（t+1）²，
故當(dāng)t=sinx=1即x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）時，函數(shù)取最小值-4；
當(dāng)t=sinx=-1即x=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）時，函數(shù)取最大值0；
（3）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)x∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]時，t=sinx單調(diào)遞增，原函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]時，t=sinx單調(diào)遞減，原函數(shù)單調(diào)遞增．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及分類討論思想和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，屬中檔題．