Question

2．設函數(shù)f（x）=xe^x-ax（a∈R，a為常數(shù)），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）的任意一條切線都不與y軸垂直，求a的取值范圍；
（2）當a=2時，求使得f（x）+k＞0成立的最小正整數(shù)k．

Answer 1

分析 （1）由已知函數(shù)f（x）的任意一條切線都不與x軸平行等價于f'（x）=0在R上無解，記g（x）=（x+1）e^x-a，通過導數(shù)求解函數(shù)g_min（x）＞0，即可得到a的范圍．
（2）當a=2時，轉(zhuǎn)化為xe^x-2x＞-k恒成立，令f（x）=xe^x-2x，通過導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）取到最小值，求出使得f（x）+k＞0恒成立的最小正整數(shù)k的值為1．

解答 解：（1）由已知函數(shù)f（x）的任意一條切線都不與x軸平行等價于f'（x）=0在R上無解．…（1分）
f'（x）=（x+1）e^x-a，…（2分）
記g（x）=（x+1）e^x-a，則g'（x）=（x+2）e^x
令g'（x）=0，則x=-2，所以${g_{min}}（x）=-{e^{-2}}-a$，…（3分）
又當x→+∞時，g（x）→+∞
所以須且只需g_min（x）＞0…（4分）
解得a＜-e^-2…（5分）
（2）當a=2時，要使f（x）+k＞0恒成立，即xe^x-2x＞-k恒成立，…6分
令f（x）=xe^x-2x，則f'（x）=h（x）=（x+1）e^x-2，h'（x）=（x+2）e^x，
當x∈（-∞，-2）時，h'（x）＜0，函數(shù)h（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減；
當x∈（-2，+∞）時，h'（x）＞0，函數(shù)h（x）的（-2，+∞）上單調(diào)遞增．…（7分）
又因為x∈（-∞，-1）時，h（x）＜0，且h（0）=-1＜0，h（1）=2e²-2＞0，
所以，存在唯一的x₀∈（0，1），使得$f'（{x_0}）=h（{x_0}）=（{{x_0}+1}）{e^{x_0}}-2=0$，…（8分）
當x∈（-∞，x₀）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-∞，x₀）上單調(diào)遞減；
當x∈（x₀，+∞）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，當x=x₀時，f（x）取到最小值．…（9分）
$f（{x_0}）={x_0}{e^{x_0}}-2{x_0}=\frac{{2{x_0}}}{{{x_0}+1}}-2{x_0}=4-2（{{x_0}+1+\frac{1}{{{x_0}+1}}}）$，…（10分）
因為x₀∈（0，1），所以f（x₀）∈（-1，0），…（11分）
從而使得f（x）+k＞0恒成立的最小正整數(shù)k的值為1．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，切線方程以及函數(shù)的單調(diào)性最值的求法，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應用．