Question

5．已知存在0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，0＜α+β＜$\frac{π}{2}$，使得方程sin$\frac{α}{2}$=kcosβ有根，則k的取值范圍是[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，0＜α+β＜$\frac{π}{2}$，求解$\frac{α}{2}$的范圍，可得sin$\frac{α}{2}$的范圍．求cosβ的范圍，從而可以得解．

解答 解：由0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，0＜α+β＜$\frac{π}{2}$，
可得：0＜$\frac{α}{2}$$＜\frac{π}{4}$，即0＜sin$\frac{α}{2}$$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由題意，0＜kcosβ$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵0＜cosβ＜1
∴0$＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的范圍問題的計(jì)算．利用三角函數(shù)的有界限范圍求解．屬于基礎(chǔ)題．