Question

12．已知點O為坐標原點，點P（${\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）在橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，且橢圓C的焦距為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過定點M（0，-2）的動直線l與橢圓C交于P，Q兩點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：2c=2，c-1，將P（${\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，即可求得a和b的值，求得橢圓C的方程；
（2）直線l的方程為：y=kx-2（k≠0），代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁•x₂=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$，原點O到直線l的距離為d=$\frac{丨2丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，根據(jù)弦長公式可知丨PQ丨=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$，利用三角形的面積公式可知：S_△OPQ=$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$，令$\sqrt{4{k}^{2}-1}$=t，t＞0，則4k²=t²+1，則S_△OPQ=$\frac{4\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}$，由基本不等式的性質(zhì)即可求得△OPQ面積的最大值．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓C的焦距為2，即2c=2，c-1，
由P（${\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）在橢圓C，則將P（${\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，
∴$\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{24}{9（{a}^{2}-1）}=1$，解得：a²=4，則b²=3，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由題意可知：直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的斜率為k，直線l的方程為：y=kx-2（k≠0），
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²-16kx+4=0，
則△=（-16k²）-4×（4k²+3）×4=192k²-48＞0，解得：k²＞，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁•x₂=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$，
設(shè)原點O到直線l的距離為d，
則d=$\frac{丨2丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由弦長公式可知：丨PQ丨=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{（\frac{16k}{4{k}^{2}+3}）^{2}-4×\frac{4}{4{k}^{2}+3}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$，
∴△OPQ面積S_△OPQ=$\frac{1}{2}$•d•丨PQ丨=$\frac{1}{2}$•$\frac{丨2丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$=$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$，
令$\sqrt{4{k}^{2}-1}$=t，t＞0，則4k²=t²+1，
∴S_△OPQ=$\frac{4\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{4\sqrt{3}}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{4}}$=$\sqrt{3}$，
當且僅當t=$\frac{4}{t}$，即t=2，k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，取等號，
∴△OPQ面積的最大值$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式，點到直線的距離公式，三角形的面積公式與基本不等式的綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．