分析 (1)由題意可知:2c=2,c-1,將P(${\frac{2}{3}$,$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$)代入橢圓方程:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$,即可求得a和b的值,求得橢圓C的方程;
(2)直線l的方程為:y=kx-2(k≠0),代入橢圓方程,由韋達(dá)定理可知:x1+x2=$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$,x1•x2=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$,原點(diǎn)O到直線l的距離為d=$\frac{丨2丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$,根據(jù)弦長公式可知丨PQ丨=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$,利用三角形的面積公式可知:S△OPQ=$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$,令$\sqrt{4{k}^{2}-1}$=t,t>0,則4k2=t2+1,則S△OPQ=$\frac{4\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}$,由基本不等式的性質(zhì)即可求得△OPQ面積的最大值.
解答 解:(1)由題意可知:橢圓C的焦距為2,即2c=2,c-1,
由P(${\frac{2}{3}$,$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$)在橢圓C,則將P(${\frac{2}{3}$,$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$)代入橢圓方程:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$,
∴$\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{24}{9({a}^{2}-1)}=1$,解得:a2=4,則b2=3,
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;
(2)由題意可知:直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l的斜率為k,直線l的方程為:y=kx-2(k≠0),
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,整理得:(4k2+3)x2-16kx+4=0,
則△=(-16k2)-4×(4k2+3)×4=192k2-48>0,解得:k2>,
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$,x1•x2=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$,
設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d,
則d=$\frac{丨2丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$,
由弦長公式可知:丨PQ丨=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{(\frac{16k}{4{k}^{2}+3})^{2}-4×\frac{4}{4{k}^{2}+3}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$,
∴△OPQ面積S△OPQ=$\frac{1}{2}$•d•丨PQ丨=$\frac{1}{2}$•$\frac{丨2丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$=$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$,
令$\sqrt{4{k}^{2}-1}$=t,t>0,則4k2=t2+1,
∴S△OPQ=$\frac{4\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{4\sqrt{3}}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{4}}$=$\sqrt{3}$,
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{4}{t}$,即t=2,k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$時,取等號,
∴△OPQ面積的最大值$\sqrt{3}$.
點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長公式,點(diǎn)到直線的距離公式,三角形的面積公式與基本不等式的綜合應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.
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A. | $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{9}=1$ | B. | $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{5}=1$ | C. | $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$ | D. | $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ |
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A. | [-2,2] | B. | {-1,0,1} | C. | {-2,-1,0,1,2} | D. | {0,1,2,3} |
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