Question

9．已知函數(shù)f（x）=tan（ωx-$\frac{π}{5}$）（ω＞0）的最小正周期為2π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）求不等式f（x）＞-1的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正切函數(shù)的周期性求得ω的值，可得函數(shù)的解析式，從而求得它的定義域．
（Ⅱ）由條件利用正切函數(shù)的圖象，解三角不等式，求得x的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=tan（ωx-$\frac{π}{5}$）（ω＞0）的最小正周期為2π，
可得$\frac{π}{ω}$=2π，∴ω=$\frac{1}{2}$，f（x）=tan（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{5}$）．
令kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{5}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得2kπ-$\frac{3π}{5}$＜x＜2kπ+$\frac{7π}{5}$，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?kπ-$\frac{3π}{5}$，2kπ+$\frac{7π}{5}$），k∈Z．
（Ⅱ）∵不等式f（x）＞-1，即tan（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{5}$）＞-1，即 kπ-$\frac{π}{4}$＜$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{5}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，
求得 2kπ-$\frac{π}{10}$＜x＜2kπ+$\frac{7π}{5}$，故不等式的解集為{x|kπ-$\frac{π}{10}$＜x＜kπ+$\frac{7π}{5}$，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正切函數(shù)的周期性，正切函數(shù)的圖象，解三角不等式，屬于基礎(chǔ)題．