【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度， 為答對該題的人數(shù)， 為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進行一次測試.共5道客觀題.測試前根據(jù)對學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如表所示：

測試后，隨機抽取了 20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，結(jié)果如下

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計這240名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù)；

（2）從抽取的20名學(xué)生中再隨機抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）定義統(tǒng)計量，其中為第題的實測難度， 為第題的預(yù)估難度.規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.試據(jù)此判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.

【答案】(1)96人；(2)見解析， （3）該次測試的難度預(yù)估是合理的

【解析】試題分析：（1）題設(shè)中給出了難度系數(shù)是答對該題的人數(shù)除以參加考試的總?cè)藬?shù)，由第二張表可知實測難度為，故估計240人中答對該題的人數(shù)約為96人.（2）離散型隨機變量服從超幾何分布，利用公式可以計算出、、，列表給出分布列，并利用公式計算.（3）先計算出各題的實測難度，根據(jù)題設(shè)給出的公式計算,該次測試的難度預(yù)估是合理的.

解析：（1）因為20人中答對第5題的人數(shù)為8人，因此第5題的實測難度為.所以，估計240人中有人實測答對第5題.

（2）的可能取值是 ； ； .

的分布列為：

.

（3）將抽樣的20名學(xué)生中第題的實測難度，作為24O名學(xué)生第題的實測難度.各題的實測難度如下表：

題號

1

2

3

4

5

實測難度

0.8

0.8

0.7

0.7

0.4

所以，因為，所以，該次測試的難度預(yù)估是合理的.

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