已知△ABC的三邊a，b，c成等比數(shù)列，且a+c=
21
，
1
tanA
+
1
tanC
=
5
4
．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）求△ABC的面積．
考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),余弦定理
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形
分析：（Ⅰ）將已知等式左邊利用商的關(guān)系、兩角和的正弦公式關(guān)系化簡，再利用等比中項的性質(zhì)及正弦定理化簡后，求出sinB的值，由平方關(guān)系求出cosB的值；
（Ⅱ）由余弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值和三角形面積公式，求出三角形ABC面積．
解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="phlvese" class="MathJye">
1
tanA
+
1
tanC
=
5
4
，
所以
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
sinCcosA+cosCsinA
sinAsinC
=
5
4
，
則
sin(C+A)
sinAsinC
=
sinB
sinAsinC
=
5
4
，①
因?yàn)椤鰽BC的三邊a，b，c成等比數(shù)列，
所以b2=ac，由正弦定理得sin2B=sinAsinC，②
由①②可得，sinB=
4
5
，
由b2=ac知，b不是最大邊，即B不是鈍角，
所以cosB=
1-sin2B
=
3
5
；
（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
則ac=a2+c2-2ac•
3
5
=（a+c）2-
16
5
ac，
把a+c=
21
代入，解得ac=5，
所以S△ABC=
1
2
acsinB=2．
點(diǎn)評：本題考查正弦、余弦定理，兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)間基本關(guān)系，三角形面積公式，以及整體代換求值，熟練掌握定理和公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
3
），g（x）=sin（2x-
π
3
），下列說法正確的是（　�。�
A、f（x）的圖象可以由g（x）的圖象向左平移
2π
3
個單位得到
B、f（x）的圖象可以由g（x）的圖象向右平移
π
3
個單位得到
C、f（x）的圖象可以由g（x）的圖象關(guān)于直線x=
π
2
對稱變換而得到
D、f（x）的圖象可以由g（x）的圖象關(guān)于直線x=
π
4
對稱變換而得到

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}，滿足：當(dāng)x∈S時，有x2∈S，給出如下四個命題：
①若m=1，則S={1}；
②若l=1，則m的取值集合為[-1，1]；
③若m=-
1
3
，則l的取值集合為[
1
9
，1]；
④若l=
1
4
，則m的取值集合為[-
1
2
，0]．
其中所有真命題的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=
ax2+1，x≥0
x3，x＜0
，則不等式f（a）＞f（1-a）的解集為（　�。�
A、[-2，-
1
2
）∪（
1
2
，2]
B、（-∞，-
1
2
）∪（
1
2
，+∞）
C、[-1，0）∪（0，1]
D、（-∞，0）∪（0，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知
cosA
cosB
=
b
a
，且C=
2π
3
．
（1）求角A，B的大��；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+A）-sin2x+cos2x，求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
a
=（1，2），
b
=（1，k2-1），若
a
⊥
b
，則k=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，
.
q
=（2a，1），
.
p
=（2b-c，cosC），且
.
q
∥
.
p
，求sinA的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞b＞0，且ab=2，則a2+
1
a(a-b)
的最小值是（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(2，-1)，點(diǎn)A（1，-2），若
AB
與
a
同向，且|
AB
|=3
5
，則點(diǎn)B坐標(biāo)為
 
．

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同步練習(xí)冊答案