Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足$\frac{1}{2}$S_n=a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數(shù)列{a_n}中的任意三項不可能成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式求得首項，得到n-1時的遞推式，兩式作差可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，由此求得數(shù)列通項公式；
（2）假設{a_n}中存在三項a_r，a_s，a_t按某種順序成等差數(shù)列，利用等差中項的概念得到2•2^s=2^r+2^t，兩邊同除以2^r得矛盾，說明假設錯誤．

解答 （1）解：由$\frac{1}{2}$S_n=a_n-1  ①，得a₁=2，
且$\frac{1}{2}{S}_{n-1}={a}_{n-1}-1$  ②，
①-②得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2$（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，首項為2，公比為2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$；
（2）證明：假設{a_n}中存在三項a_r，a_s，a_t按某種順序成等差數(shù)列，
∵${a}_{n}={2}^{n}$單增，∴a_r＜a_s＜a_t，則2a_s=a_r+a_t，即2•2^s=2^r+2^t，
同除以2^r得，2•2^s-r=1+2^t-r，
∵s-r≥1，t-r≥1，∴左端為偶數(shù)，右端為奇數(shù)，矛盾．
∴任意三項不可能成等差數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了反證法在存在性問題中的用法，是中檔題．