Question

已知a、b、c是互不相等的正數(shù)，則使不等式

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

＞

m

a+b+c

成立的最大實(shí)數(shù)m為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于a、b、c是互不相等的正數(shù)，可得2（a+b+c）(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)=3+

b+c

a+b

+

a+c

a+b

+

a+c

b+c

+

a+b

b+c

+

a+b

a+c

+

b+c

a+c

，利用基本不等式即可得出．

解答： 解：∵a、b、c是互不相等的正數(shù)，
∴2（a+b+c）(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)=3+

b+c

a+b

+

a+c

a+b

+

a+c

b+c

+

a+b

b+c

+

a+b

a+c

+

b+c

a+c

＞3+2

b+c a+b • a+b b+c

+2

a+c a+b • a+b a+c

+2

a+c b+c • b+c a+c

=9，
∴（a+b+c）(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)＞

9

2

，
∴使不等式

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

＞

m

a+b+c

成立的最大實(shí)數(shù)m為

9

2

．
故答案為：

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了變形利用基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．