Question

19．對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)曲線y=xⁿ（2-x）在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a_n，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ⁺²-4．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程為y=-2ⁿ（x-2），從而得到a_n=2ⁿ⁺¹，利用等比數(shù)列的求和公式能求出S_n．

解答 解：∵y=xⁿ（2-x），∴y'=2nx^n-1-（n+1）xⁿ，
∴曲線y=xⁿ（2-x）在x=2處的切線的斜率為k=n2ⁿ-（n+1）2ⁿ=-2ⁿ，
切點(diǎn)為（2，0），
∴切線方程為y=-2ⁿ（x-2），
令x=0得a_n=2ⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺²-4，
故答案為：2ⁿ⁺²-4．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的能力，以及利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行數(shù)列求和的能力．