Question

9．已知函數(shù)f（x）=3^x，x∈[-1，1]，函數(shù)g（x）=[f（x）]²-2af（x）+3．
（Ⅰ）當a=0時，求函數(shù)g（x）的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）的最小值為h（a），求h（a）的表達式；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)m，n同時滿足下列兩個條件：①m＞n＞3；②當h（a）的定義域為[n，m]時，值域為[n²，m²]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設t=3^x，則φ（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，φ（t）的對稱軸為t=a，當a=0時，即可求出g（x）的值域；
（Ⅱ）由函數(shù)φ（t）的對稱軸為t=a，分類討論當a＜$\frac{1}{3}$時，當$\frac{1}{3}≤a≤3$時，當a＞3時，求出最小值，則h（a）的表達式可求；
（Ⅲ）假設滿足題意的m，n存在，函數(shù)h（a）在（3，+∞）上是減函數(shù)，求出h（a）的定義域，值域，然后列出不等式組，求解與已知矛盾，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=3^x，x∈[-1，1]，∴${3}^{x}∈[\frac{1}{3}，3]$，設t=3^x，$t∈[\frac{1}{3}，3]$，
則φ（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，對稱軸為t=a．
當a=0時，φ（t）=t²+3，$t∈[\frac{1}{3}，3]$，∴φ（t）∈[$\frac{28}{9}$，12]，
∴函數(shù)g（x）的值域是：[$\frac{28}{9}$，12]；
（Ⅱ）∵函數(shù)φ（t）的對稱軸為t=a，
當a＜$\frac{1}{3}$時，y_min=h（a）=φ（$\frac{1}{3}$）=$\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}$；
當$\frac{1}{3}≤a≤3$時，y_min=h（a）=φ（a）=3-a²；
當a＞3時，y_min=h（a）=φ（3）=12-6a．
故$h（a）=\left\{\begin{array}{l}\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}（a＜\frac{1}{3}）\\ 3-{a^2}（\frac{1}{3}≤a≤3）\\ \\ 12-6a（a＞3）\end{array}\right.$，
（Ⅲ）假設滿足題意的m，n存在，∵m＞n＞3，∴h（a）=12-6a，
∴函數(shù)h（a）在（3，+∞）上是減函數(shù)．
又∵h（a）的定義域為[n，m]，值域為[n²，m²]，
∴$\left\{\begin{array}{l}12-6m={n^2}\\ 12-6n={m^2}\end{array}\right.$，兩式相減得6（m-n）=（m-n）•（m+n），
又∵m＞n＞3，∴m-n≠0，∴m+n=6，與m＞n＞3矛盾．
∴滿足題意的m，n不存在．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的值域問題，二次函數(shù)在特定區(qū)間上的值域問題一般結(jié)合圖象和單調(diào)性處理，是中檔題．