Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0，
（1）若此方程表示圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線x+2y-4=0相交于A、B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求m的值；
（3）在（2）的條件下，求以AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：

分析：（1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用半徑大于0，可得m的取值范圍；
（2）直線方程與圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及OA⊥OB，建立方程，可求m的值；
（3）寫出以AB為直徑的圓的方程，代入條件可得結(jié)論．

解答： 解：（1）（x-1）²+（y-2）²=5-m，∴方程表示圓時(shí)，m＜5；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁=4-2y₁，x₂=4-2y₂，得x₁x₂=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y=0，∴16-8（y₁+y₂）+5y₁y₂=0①，
由直線x+2y-4=0與圓消去x，得5y²-16y+m+8=0，
∴y₁+y₂=

16

5

，y₁y₂=

8+m

5

．
代入①得m=

8

5

； 
（3）以AB為直徑的圓的方程為（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
即x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0，
∴所求圓的方程為(x-

4

5

)2+(y-

8

5

)2=

16

5

．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．